数学学習の記録 311 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.3(導関数とその計算)、微分可能性と連続性

2010年9月29日水曜日

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.3(導関数とその計算)、微分可能性と連続性の問23を解いてみる。

問23

(1)

この関数は0において、

微分可能ではない。

右側微分は可能で、その右側微分係数は、

$\lim_{h\rightarrow+0}{\frac{f(h)-f(0)}{h}}$

$=\lim_{h\rightarrow+0}{\frac{-h(h-1)}{h}}=1$

である。

左側微分は可能で、その左側微分係数は、

$\lim_{h\rightarrow-0}{\frac{f(h)-f(0)}{h}}$

$=\lim_{h\rightarrow-0}{\frac{h(h-1)}{h}}=-1$

(2)

問題の関数の右側微分係数は

$f'(0)=\lim_{h\rightarrow+0}{\frac{f(h)-f(0)}{h}}$

$=\lim_{h\rightarrow+0}{\frac{h^{2}}{h}=0$

左側微分係数は

$f'(0)=\lim_{h\rightarrow-0}{\frac{f(h)-f(0)}{h}}$

$=\lim_{h\rightarrow-0}{\frac{-h^{2}}{h}}=0$

よって問題の関数は微分可能で、その微分係数は0である。