数学学習の記録 348 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.3(曲線の凹凸, 曲線をえがくこと)、凸関数の定義のいいかえの問40, 41

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.3(曲線の凹凸, 曲線をえがくこと)、凸関数の定義のいいかえの問40, 41を解いてみる。

問40

0<p<1のとき、

f''(x)<0

よってf(x)はx>0で上に凸となることから

$\left(\frac{a+b}{2}\right)^{p}\geq\frac{a^{p}+b^{p}}{2}$

また、

f'(x)>0

よりf(x)は単調増加なので、

$\frac{a+b}{2}\geq\left(\frac{a^{p}+b^{p}}{2}\right)^{\frac{1}{p}$

p<0のとき、

f''(x)>0

よってf(x)はx>0で下に凸となることから

$\left(\frac{a+b}{2}\right)^{p}\leq\frac{a^{p}+b^{p}}{2}$

また、

f'(x)<0

よりf(x)は単調減少なので、

$\frac{a+b}{2}\geq\left(\frac{a^{p}+b^{p}}{2}\right)^{\frac{1}{p}}$

問41

$t_{n}=1$

のときは両辺とも

$f(x_{n})$

となるので成り立つ。

$t_{n}<1$

のときを考える。

$s_{i}=\frac{t_{i}}{1-t_{n}}\ (i=1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ n-1)$

とおくと、帰納法の仮定によって

$f(s_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +s_{n-1}x_{n-1})\leq s_{1}f(x_{1})+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +s_{n-1}f(x_{n-1})$

が成り立つ。ここで、

$t_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +t_{n}x_{n}=(1-t_{n})(s_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +s_{n-1}x_{n-1})+t_{n}x_{n}$

となり、

$z=s_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +s_{n-1}x_{n-1}$

とおくと、

$t_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +t_{n}x_{n}=(1-t_{n})z+t_{n}x_{n}$

fは凸関数なので、

$f(t_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +t_{n}x_{n})\leq(1-t_{n})f(z)+t_{n}f(x_{n})$

$\leq(1-t_{n})\left(\frac{t_{1}}{1-t_{n}}f(x_{1})+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\frac{t_{n-1}}{1-t_{n}}f(x_{n-1})\right)+t_{n}f(x_{n})$

$=t_{1}f(x_{1})+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +t_{n-1}f(x_{n-1})+t_{n}f(x_{n})$

よって帰納法より問題の不等式は成り立つ。

(証明終)

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