数学 - 不等式の証明(相加平均と相乗平均)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式の第4章(大小関係をみる - 不等式)4.3(不等式の証明)問18を解いてみる。

問18.

(1)

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \sqrt{1} = 2$

(2)

$\geq 2 \cdot \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}} \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{d}{c}} = 4$

(3)

$\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{x y}$

$\frac{x + y}{2} \geq \frac{x y}{\sqrt{x y}}$

$\sqrt{x y} \geq \frac{2 x y}{x + y}$

(4)

$x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + y^{3} = (x - y) (x^{2} - y^{2}) = {(x - y)}^{2} (x + y) \geq 0$

(5)

$左辺 \geq 2 \sqrt{b c} \cdot 2 \sqrt{c a} \cdot 2 \sqrt{a b} = 8 a b c$

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