数学 - 不等式の証明(絶対値に関する不等式)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式の第4章(大小関係をみる - 不等式)4.3(不等式の証明)問26を解いてみる。

問26.

$a = 0$

のとき、両辺ともに

$| b |$

$b = 0$

のときも同様。

$a b > 0$

のとき

$2 (| a b | - a b) = 2 (a b - a b) = 0$

${(| a | + | b |)}^{2} = {| a + b |}^{2}$

$| a | + | b | = | a + b |$

よって

$a b \geq 0 \Rightarrow | a + b | = | a | + | b |$

$2 (| a b | - a b) = 2 (- a b - a b) = - 4 a b > 0$

${(| a | + | b |)}^{2} > {| a + b |}^{2}$

$| a | + | b | > | a + b |$

$よって$

$a b < 0 \Rightarrow | a + b | < | a | + | b |$

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