数学 – 整数 - 数学的帰納法と除法の定理(帰納法を使った等式の証明)

代数系入門
(岩波書店)
松坂和夫 (著)

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代数系入門 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問3.を解いてみる。

問3.

$n = 1$ のとき成り立つ。

$n = k$ のとき成り立つと仮定すると、
$\begin{array}{l} 1 + 2 + \cdot \cdot \cdot + k + (k + 1) = \frac{k (k + 1)}{2} + (k + 1) \\ = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} \end{array}$
より、 $n = k + 1$ のときも成り立つ。

よって帰納法より、すべての正の整数 $n$ に対して問題の等式が成り立つ。
$n = 1$ のとき成り立つ。

$n = k$ のとき成り立つと仮定すると、
$\begin{array}{l} 1^{2} + 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + k^{2} + {(k + 1)}^{2} \\ = \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + {(k + 1)}^{2} \\ = \frac{(k + 1) (2 k^{2} + k + 6 k + 6)}{6} \\ = \frac{(k + 1) (2 k^{2} + 7 k + 6)}{6} \\ = \frac{(k + 1) (2 k + 3) (k + 2)}{6} \\ = \frac{(k + 1) ((k + 1) + 1) (2 (k + 1) + 1)}{6} \end{array}$
より、 $n = k + 1$ のときも成り立つ。

よって帰納法より、すべての正の整数 $n$ に対して問題の等式が成り立つ。
$n = 1$ のとき成り立つ。

$n = k$ のとき成り立つと仮定すると、
$\begin{array}{l} 1^{3} + 2^{3} + \cdot \cdot \cdot + k^{3} + {(k + 1)}^{3} \\ = \frac{k^{2} {(k + 1)}^{2}}{4} + {(k + 1)}^{3} \\ = \frac{{(k + 1)}^{2} (k^{2} + 4 k + 4)}{4} \\ = \frac{{(k + 1)}^{2} {((k + 1) + 1)}^{2}}{4} \end{array}$
より、 $n = k + 1$ のときも成り立つ。

よって帰納法より、すべての正の整数 $n$ に対して問題の等式が成り立つ。
$n = 1$ のとき成り立つ。

$n = k$ のとき成り立つと仮定すると、
$\begin{array}{l} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdot \cdot \cdot + k (k + 1) + (k + 1) ((k + 1) + 1) \\ = \frac{1}{3} k (k + 1) (k + 2) + (k + 1) ((k + 1) + 1) \\ = \frac{1}{3} (k + 1) ((k + 1) + 1) (k + 3) \\ = \frac{1}{3} (k + 1) ((k + 1) + 1) ((k + 1) + 2) \end{array}$
より、 $n = k + 1$ のときも成り立つ。

よって帰納法より、すべての正の整数 $n$ に対して問題の等式が成り立つ。
$n = 1$ のとき成り立つ。

$n = k$ のとき成り立つと仮定すると、
$\begin{array}{l} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k} + \frac{1}{2 (k + 1) - 1} - \frac{1}{2 (k + 1)} \\ = \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2 k} + \frac{2 k + 2 - 2 k - 1}{4 {(k + 1)}^{2} - 2 (k + 1)} \\ = \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{k + k} + \frac{1}{2 (k + 1) (2 k + 1)} \\ = \frac{1}{(k + 1) + 1} + \frac{1}{(k + 1) + 1} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{(k + 1) + (k - 1)} + \frac{2 (2 k + 1)}{2 (k + 1) (2 k + 1)} \\ = \frac{1}{(k + 1) + 1} + \frac{1}{(k + 1) + 1} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{(k + 1) + (k - 1)} + \frac{2 (k + 1) + 2 k + 1}{2 (k + 1) (2 k + 1)} \\ = \frac{1}{(k + 1) + 1} + \frac{1}{(k + 1) + 1} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{(k + 1) + (k - 1)} + \frac{1}{(k + 1) + k} + \frac{1}{2 (k + 1)} \end{array}$
より、 $n = k + 1$ のときも成り立つ。

よって帰納法より、すべての正の整数 $n$ に対して問題の等式が成り立つ。
$n = 1$ のとき成り立つ。

$n = k$ のとき成り立つと仮定すると、
$\begin{array}{l} ((k + 1) + 1) ((k + 1) + 2) ((k + 1) + 3) \cdot \cdot \cdot (2 (k + 1)) \\ = \frac{(k + 1) ((k + 1) + 1) ((k + 1) + 2) ((k + 1) + 3) \cdot \cdot \cdot ((k + 1) + (k - 1)) ((k + 1) + k) (2 (k + 1))}{k + 1} \\ = \frac{2^{k} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (2 k - 1) ((k + 1) + k) (2 (k + 1))}{k + 1} \\ = 2^{k + 1} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (2 k - 1) (2 (k + 1) - 1) \end{array}$
より、 $n = k + 1$ のときも成り立つ。

よって帰納法より、すべての正の整数 $n$ に対して問題の等式が成り立つ。
$n = 1$ のとき成り立つ。

$n = k$ のとき成り立つと仮定すると、
$\begin{array}{l} 1 + 2 x + 3 x^{2} + \cdot \cdot \cdot + k x^{k - 1} + (k + 1) x^{k} \\ = \frac{1 - x^{k}}{{(1 - x)}^{2}} - \frac{k x^{k}}{1 - x} + (k + 1) x^{k} \\ = \frac{1 - x^{k}}{{(1 - x)}^{2}} - \frac{k x^{k}}{1 - x} + \frac{{(1 - x)}^{2} (1 - x) (k + 1)}{{(1 - x)}^{2} (1 - x)} x^{k} \\ = \frac{1 - x^{k}}{{(1 - x)}^{2}} - \frac{k x^{k}}{1 - x} + \frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{2} (k - k x - x)}{{(1 - x)}^{2} (1 - x)} x^{k} \\ = \frac{1 - x^{k}}{{(1 - x)}^{2}} - \frac{k x^{k}}{1 - x} + \frac{{(1 - x)}^{2} - {(1 - x)}^{2} ((k + 1) x - k)}{{(1 - x)}^{2} (1 - x)} x^{k} \\ = \frac{1 - x^{k + 1}}{{(1 - x)}^{2}} - \frac{(k + 1) x^{k + 1}}{1 - x} \end{array}$
より、 $n = k + 1$ のときも成り立つ。

よって帰納法より、すべての正の整数 $n$ に対して問題の等式が成り立つ。

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2015年1月31日土曜日

数学 – 整数 - 数学的帰納法と除法の定理(帰納法を使った等式の証明)

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