2015年2月1日日曜日

学習環境

  • 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
  • MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
  • MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問5.を解いてみる。

問5.

n=k のとき成り立つと仮定する。

( x+y ) k+1 =(x+y) r=0 k ( k r ) x kr y r = r=0 k ( k r ) x k+1r y r + r=0 k ( k r ) x kr y r+1 = r=0 k ( k r ) x k+1r y r + r=1 k+1 ( k r1 ) x k+1r y r = x k+1 + y k+1 + r=1 k ( ( k r )+( k r1 ) ) x k+1r y r = x k+1 + y k+1 + r=1 k ( k! r!( kr )! + k! ( r1 )!( kr+1 )! ) x k+1r y r = x k+1 + y k+1 + r=1 k k!( kr+1+r ) r!( kr )! x k+1r y r = x k+1 + y k+1 + r=1 k ( k+1 )! r!( ( k+1 )r )! x k+1r y r =( k+1 0 ) x k+10 y 0 +( k+1 k+1 ) x k+1( k+1 ) y k+1 + r=1 k ( k+1 r ) x k+1r y r = r=0 k+1 ( k+1 r ) x k+1r y r
より、 n=k+1 のときも成り立つ。

よって、帰納法によりすべての自然数について成り立つ。

証明終

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