数学 – 整数 - 素数、素因数分解(互いに素, 対ごとに素, 標準分解)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

学習環境

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問12.を解いてみる。

問12.

$\begin{array}{l}a=\frac{q_1{}^{{\beta }_1}···q_l{}^{{\beta }_l}}{p_1^{{\alpha }_1}···p_k{}^{{\alpha }_k}}\left(p_i\ne q_i\right)\\ =\frac{1}{p_1^{{\alpha }_1}···p_k{}^{{\alpha }_k}}·q_1{}^{{\beta }_1}···q_l{}^{{\beta }_l}\\ \left(p_i^{{\alpha }_i},p_j{}^{{\alpha }_j}\right)=1\left(i\ne j\right)\\ \frac{1}{p_1^{{\alpha }_1}···p_k{}^{{\alpha }_k}}·q_1{}^{{\beta }_1}···q_l{}^{{\beta }_l}\\ =\left(\frac{a_1}{p_1{}^{{\alpha }_1}}+···+\frac{a_k}{p_k{}^{{\alpha }_k}}\right)q_1{}^{{\beta }_1}···q_l{}^{{\beta }_l}\left(a_i\in \mathbb{Z}\right)\\ =\frac{a_1{q}_1{}^{{\beta }_1}···q_l{}^{{\beta }_l}}{p_1{}^{{\alpha }_1}}+···+\frac{a_k{q}_1{}^{{\beta }_1}···q_l{}^{{\beta }_l}}{p_k^{{\alpha }_k}}\\ x_i=a_i{q}_1{}^{{\beta }_1}···q_l{}^{{\beta }_l}\\ a=\frac{x_1}{p_1{}^{{\alpha }_1}}+···+\frac{x_k}{p_k{}^{{\alpha }_k}}\end{array}$