数学 – 集合と写像 - 写像に関する諸概念(写像による像および原像, 像の逆像と定義域)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、4(写像に関する諸概念)、問題2.を解いてみる。

問題2.

$\begin{array}{l}x\in P\\ \Rightarrow f\left(x\right)\in f\left(P\right)\\ \Rightarrow x\in f^{-1}\left(f\left(P\right)\right)\\ P\subset f^{-1}\left(f\left(P\right)\right)\end{array}$

等号が成り立たない例。

$\begin{array}{l}A=\left\{0,1\right\}\\ b_0\in B\\ f\left(A\right)=\left\{b_0\right\}\\ P=\left\{0\right\}\\ f\left(P\right)=\left\{b_0\right\}\\ f^{-1}\left(f\left(P\right)\right)=\left\{0,1\right\}\\ f^{-1}\left(f\left(P\right)\right)\ne P\end{array}$