数学 – 文字と記号の活躍 - 整式の除法と分数式 – 整式の最大公約数と最小公倍数(2つの整式)

数学読本〈1〉
数・式の計算/方程式/不等式
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(文字と記号の活躍 - 式の計算)、2.3(整式の除法と分数式)、整式の最大公約数と最小公倍数の問17.を解いてみる。

問17.

求める2つの整式をA、B、最大公約数をG、最小公倍数をLとし、また、A = GA'、B=GB'とする。

L = GA'B'から、GA'B'は3次式、Gは1次式なのでA'B'は2次式である。そして、A'、B'の字数は等しいので、A'、B'は1次式となる。

また、A'B'G = Lということから、求める2つの整式は

$\begin{array}{l}A\text{'}B\text{'}=L÷G=\left(x-2\right)\left(x+4\right)\\ A\text{'}=x-2,B\text{'}=x+4\\ A=GA\text{'}={\left(x-2\right)}^2\\ B=GB\text{'}=\left(x-2\right)\left(x+4\right)\end{array}$

となる。

次数が等しいという制限をつけない場合は、上記に加えて、

${\left(x-2\right)}^2\left(x+4\right),1$

という2つの整式も条件を満たす。