数学 – 整数 - 同値関係、合同式(素数, 二項定理)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、6(同値関係、合同式)、問7.を解いてみる。

問7.

$\begin{array}{l}{\left(x+y\right)}^p-\left(x^p+y^p\right)\\ ={\displaystyle \sum _{r=0}^p\left(\begin{array}{c}p\\ r\end{array}\right)}{x}^{p-r}{y}^r-\left(x^p+y^p\right)\\ ={\displaystyle \sum _{r=1}^{p-1}\left(\begin{array}{c}p\\ r\end{array}\right)}{x}^{p-r}{y}^r\\ =pk\\ {\left(x+y\right)}^p\equiv x^p+y^p\left(\mathrm{mod}p\right)\end{array}$