数学 – 整数 - 同値関係、合同式(階乗, 互いに素)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

学習環境

• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、6(同値関係、合同式)、問9.を解いてみる。

問9.

$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}p-1\\ a\end{array}\right)-{\left(-1\right)}^a\\ =\frac{\left(p-1\right)\left(p-2\right)···\left(p-a\right)}{a!}·-{\left(-1\right)}^a\\ =\frac{\left(p-1\right)\left(p-2\right)···\left(p-a\right)-{\left(-1\right)}^{a}a!}{a!}\\ =\frac{\left(p-1\right)\left(p-2\right)···\left(p-a\right)-\left(-1\right)\left(-2\right)···\left(-a\right)}{a!}\\ \left(p-k\right)-\left(-k\right)=p\\ p-k\equiv -k\left(\mathrm{mod}p\right)\\ \left(p-1\right)\left(p-2\right)···\left(p-a\right)\equiv \left(-1\right)\left(-2\right)···\left(-a\right)\left(\mathrm{mod}p\right)\\ \left(p,a!\right)=1\\ \frac{\left(p-1\right)\left(p-2\right)···\left(p-a\right)}{a!}\equiv \frac{\left(-1\right)\left(-2\right)···\left(-a\right)}{a!}\left(\mathrm{mod}p\right)\\ \left(\begin{array}{c}p-1\\ a\end{array}\right)\equiv {\left(-1\right)}^a\left(\mathrm{mod}p\right)\end{array}$