数学 – 整数 - 同値関係、合同式(剰余を求める)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、6(同値関係、合同式)、問10.を解いてみる。

問10.

100を法として、

$\begin{array}{l}{2}^{10}=1024\equiv 24\\ 2^{100}={24}^2\equiv -24\\ 2^{100}\equiv -24\\ 2^{100}-1\equiv -25\\ {\left(2^{100}-1\right)}^{99}\equiv {\left(-25\right)}^{99}\\ {25}^2\equiv 25\\ {\left(-25\right)}^{99}=-25·{25}^{98}\equiv -25·25\equiv -25\equiv 75\\ {\left(2^{100}-1\right)}^{99}\equiv 75\left(\mathrm{mod}100\right)\end{array}$

よって、求める余りは75。