数学 – 整数 - 2つの整数論的関数(乗法的関数, Möbiusの関数, 反転公式)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、8(2つの整数論的関数)、問7.を解いてみる。

問7.

$\begin{array}{l}F\left(1\right)=1\wedge \left(\left(a,b\right)=1\Rightarrow F\left(ab\right)=F\left(a\right)F\left(b\right)\right)\\ \\ G\left(1\right)={\displaystyle \sum _{d|1}^{}F\left(d\right)}\\ =F\left(1\right)\\ =1\\ \\ \left(a,b\right)=1\\ G\left(ab\right)={\displaystyle \sum _{d|ab}^{}F\left(d\right)}\\ ={\displaystyle \sum _{d_1|a}^{}F\left(d_1\right)}{\displaystyle \sum _{d_2|b}^{}F\left(d_2\right)}\\ \\ \\ G\left(1\right)=1\wedge \left(\left(a,b\right)=1\Rightarrow G\left(ab\right)=G\left(a\right)G\left(b\right)\right)\\ \\ F\left(1\right)={\displaystyle \sum _{d|1}^{}\mu \left(d\right)G\left(\frac{1}{d}\right)}\\ =\mu \left(1\right)G\left(1\right)\\ =1·1\\ =1\\ \\ \left(a,b\right)=1\\ F\left(ab\right)={\displaystyle \sum _{d|ab}^{}\mu \left(d\right)G\left(\frac{ab}{d}\right)}\\ ={\displaystyle \sum _{d_1|a}^{}{}_i\mu \left(d_1\right)G\left(\frac{a}{d_1}\right)}{\displaystyle \sum _{d_2|b}^{}\mu \left(d_2\right)G\left(\frac{b}{d_2}\right)}\\ =F\left(a\right)F\left(b\right)\end{array}$