数学 – 整数 - 2つの整数論的関数(乗法的関数, すべての正の約数にわたる和)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、8(2つの整数論的関数)、問6-c.を解いてみる。

問6-c.

$\begin{array}{l}{p}_{k_1}{}^{{\beta }_1}\\ p_{k_2}^{{\beta }_2}\\ p_{k_1}\ne p_{k_2}\\ \left(p_{k_1}{}^{{\beta }_1},p_{k_2}^{{\beta }_2}\right)=1\\ \theta \left(p_{k_1}{}^{{\beta }_1}{p}_{k_2}^{{\beta }_2}\right)=\theta \left(p_{k_1}{}^{{\beta }_1}\right)\theta \left(p_{k_2}^{{\beta }_2}\right)\\ {\displaystyle \sum _{d|n}\theta \left(d\right)}=\left({\displaystyle \sum _{{\beta }_1=0}^{{\alpha }_1}\theta \left(p_1^{{\beta }_1}\right)}\right)···\left({\displaystyle \sum _{{\beta }_k=0}^{{\alpha }_k}\theta \left(p_k{}^{{\beta }_k}\right)}\right)···\end{array}$