数学 – 数学の威力を発揮する - 方程式 – 高次方程式(連立2次方程式, 複素数の平方根)

数学読本〈1〉
数・方程式/方程式/不等式
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・方程式/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.3(高次方程式)、連立2次方程式の問38.を解いてみる。

問38.

$\begin{array}{l}z=x+yi\\ z^2=x^2-y^2+2xyi\\ \\ x^2-y^2=a\\ x^2+\left(-y^2\right)=a\\ 2xy=b\\ xy=\frac{b}{2}\\ x^2{y}^2=\frac{b^2}{4}\\ x^2\left(-y^2\right)=-\frac{b^2}{4}\\ \\ t^2-at-\frac{b^2}{4}=0\\ t=\frac{a\pm \sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ x^2>0\\ x^2=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ x=\pm \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\\ y^2>0\\ -y^2<0\\ -y^2=\frac{a-\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ y^2=\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ y=\pm \sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\\ \\ b>0\\ xy>0\\ b<0\\ xy<0\\ \\ z=\pm \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\pm \sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\left(b>0\right)\\ z=\pm \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\mp \sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\left(b<0\right)\end{array}$