数学 – 順序集合, Zorn の補題 - 整列集合とその比較定理(有限整列集合, 無限整列集合, 順序同型)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(順序集合, Zorn の補題)、2(整列集合とその比較定理)、問題4.を解いてみる。

問題4.

$\begin{array}{l}f:A\to \left\{1,2···,n\right\}\\ f\left(1\right)=\min A=a_1\\ f\left(2\right)=\min A-\left\{a_1\right\}=a_2\\ ···\\ f\left(n\right)=\min A-\left\{a_1,a_2,···,a_{n-1}\right\}=a_n\\ \\ \forall n,m\in \left\{1,2···,n\right\}\left[n\le m\iff f\left(n\right)\le f\left(m\right)\right]\end{array}$

無限整列集合の場合、どの元より大きい元がある場合は、その切片を考えればいい。