数学 - 線型代数 - 2次元と3次元の簡単な幾何学 - ベクトルの内積(正三角形, 等分)

線型代数入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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線型代数入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(2次元と3次元の簡単な幾何学)、5(ベクトルの内積)、問5.を解いてみる。

問5.

1. 
   $a·b=\left|a\right|\left|b\right|\cos \frac{\pi }{3}=1·1·\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
2. 
   $\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=-a+b\\ \overrightarrow{OM}=a+\frac{-a+b}{3}\\ \overrightarrow{ON}=b+\frac{a-b}{3}\\ \overrightarrow{OM}·\overrightarrow{ON}\\ =\frac{2a+b}{3}·\frac{a+2b}{3}\\ =\frac{2a·a+2b·b+5a·b}{9}\\ =\frac{4+\frac{5}{2}}{9}\\ =\frac{13}{18}\end{array}$