数学 – 大小関係をみる - 不等式 – 不等式の証明(相加平均と相乗平均2)

学習環境

数学読本〈1〉数・方程式/方程式/不等式 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係をみる - 不等式)、4.3(不等式の証明)、相加平均と相乗平均の問18.を解いてみる。

問18.

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b} \frac{b}{a}} = 2 \sqrt{1} = 2$
$\begin{array}{l} (\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) (\frac{b}{a} + \frac{d}{c}) \\ \geq 2 \sqrt{\frac{a c}{b d}} 2 \sqrt{\frac{b d}{a c}} \\ = 4 \sqrt{\frac{a c b d}{b d a c}} \\ = 4 \sqrt{1} \\ = 4 \end{array}$
$\begin{array}{l} \sqrt{x y} (x + y) \\ \geq \sqrt{x y} 2 \sqrt{x y} \\ = 2 x y \\ \sqrt{x y} \geq \frac{2 x y}{x + y} \end{array}$
$\begin{array}{l} x^{3} + y^{3} - (x^{2} y + x y^{2}) \\ = x^{2} (x - y) - y^{2} (x - y) \\ = (x^{2} - y^{2}) (x - y) \\ = (x - y) (x + y) (x - y) \\ = {(x - y)}^{2} (x + y) \\ \geq 0 \end{array}$
$\begin{array}{l} (b + c) (c + a) (a + b) \\ \geq 2 \sqrt{b c} 2 \sqrt{c a} 2 \sqrt{a b} \\ = 8 a b c \end{array}$

Kamimura's blog