数学 – 大小関係をみる - 不等式 – 不等式の証明(相加平均と相乗平均、直方体、辺の長さ、対角線)

数学読本〈1〉
数・方程式/方程式/不等式
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

学習環境

• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

数学読本〈1〉数・方程式/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係をみる - 不等式)、4.3(不等式の証明)、相加平均と相乗平均の問20.を解いてみる。

問20.

$\begin{array}{l}{p}^2=a^2+b^2\\ q^2=b^2+c^2\\ r^2=c^2+a^2\\ p^2{q}^2{r}^2=\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)\\ \ge 2\sqrt{a^2{b}^2}·2\sqrt{b^2{c}^2}·2\sqrt{c^2{a}^2}\\ =8a^2{b}^2{c}^2\\ pqr\ge 2\sqrt{2}abc\end{array}$