数学 - 群 - 正規部分群と商群(部分群と正規部分群と積)

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代数系入門 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、5(正規部分群と商群)、問6.を解いてみる。

問6.

$\begin{array}{l} a, b \in H N \\ a = h_{1} n_{1}, b = h_{2} n_{2} \\ a b = h_{1} n_{1} h_{2} n_{2} = h_{1} h_{2} n_{1}' n_{2} \in H N \\ e = e e \in H N \\ {(a b)}^{- 1} = b^{- 1} a^{- 1} \\ = {(h_{2} n_{2})}^{- 1} {(h_{1} n_{1})}^{- 1} \\ = n_{2}^{- 1} h_{2}^{- 1} n_{1}^{- 1} h_{1}^{- 1} \\ = h_{2}^{- 1} n_{2}' n_{1}^{- 1} h_{1}^{- 1} \\ = h_{2} n h_{1}^{- 1} \\ = h_{2} h_{1}^{- 1} n' \in H N \end{array}$

$\begin{array}{l} a \in G \\ x \in a H N \\ \Leftrightarrow \\ x = a h n \\ = h' a n \\ = h' n' a \in H N a \end{array}$

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2015年7月15日水曜日

数学 - 群 - 正規部分群と商群(部分群と正規部分群と積)

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