数学 - 群 - 自己同型写像、共役類(逆元, 可換群)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、7(自己同型写像、共役類)、問1.を解いてみる。

問1.

$\begin{array}{l}a,b\in G\\ f:x\mapsto x^{-1}\\ f\left(a\right)=a^{-1}\\ f\left(b\right)=b^{-1}\\ f\left(ab\right)=f\left(a\right)f\left(b\right)\\ {\left(ab\right)}^{-1}=a^{-1}{b}^{-1}\\ b^{-1}{a}^{-1}=a^{-1}{b}^{-1}\\ f\left(b^{-1}{a}^{-1}\right)=f\left(a^{-1}{b}^{-1}\right)\\ f\left(b^{-1}\right)f\left(a^{-1}\right)=f\left(a^{-1}\right)f\left(b^{-1}\right)\\ ba=ab\end{array}$