数学 – 位相空間 - R^n の距離と位相(開区間、閉区間、開集合、閉集合)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(位相空間)、1(R^n の距離と位相)、問題3.を解いてみる。

問題3.

$$\begin{array}{l}x\in \left(a_1,b_1\right)\times ···\times \left(a_n,b_n\right)\\ ϵ=\min \left\{\frac{d\left(a_1,b_1\right)}{2},···,\frac{d\left(a_n,b_n\right)}{2}\right\}\\ B\left(x;ϵ\right)\subset \left(a_1,b_1\right)\times ···\times \left(a_n,b_n\right)\\ \left(a_1,b_1\right)\times ···\times \left(a_n,b_n\right)\in \mathfrak{O}\\ \\ x=\left(c_1,···,c_n\right)\in {\left(\left[a_1,b_1\right]\times ···\times \left[a_n,b_n\right]\right)}^c\\ 0<ϵ<\min \left\{\frac{d\left(a_1,c_1\right)}{2},\frac{d\left(b_1,c_1\right)}{2},···,\frac{d\left(a_n,c_n\right)}{2},\frac{d\left(b_n,c_n\right)}{2}\right\}\\ B\left(x;ϵ\right)\in {\left(\left[a_1,b_1\right]\times ···\times \left[a_n,b_n\right]\right)}^c\\ \left[a_1,b_1\right]\times ···\times \left[a_n,b_n\right]\in \mathfrak{U}\end{array}$$