数学 - 基本理論(Basic Theory) - 方程式と関数 - 関数の最大値・最小値 - 接線の傾きと極値2 - オイラーの贈物

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ
(東海大学出版会)
吉田 武 (著)

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オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ (吉田 武(著)、東海大学出版会)の第Ⅰ部(基礎理論(Basic Theory))、2章(方程式と関数)、2.6(関数の最大値・最小値)、2.6.2(接線の傾きと極値)、問題3-[2].を解いてみる。

問題3-[2].

$\begin{array}{l}ax+b\ne 0\\ \left(mx+n\right)\left(ax+b\right)=1\\ am{x}^2+\left(bm+an\right)x+bn-1=0\\ {\left(bm+an\right)}^2-4am\left(bn-1\right)=0\\ b^2{m}^2+2abmn+a^2{n}^2-4abmn+4am=0\\ a^2{n}^2+b^2{m}^2-2abmn+4am=0\\ {\left(an-bm\right)}^2+4am=0\\ {\left(an-bm\right)}^2=-4am\\ am\le 0\\ an-bm=\pm 2\sqrt{-am}\\ n=\frac{1}{a}\left(bm\pm 2\sqrt{-am}\right)\\ y=mx+\frac{1}{a}\left(bm\pm 2\sqrt{-am}\right)\\ a\left(y-mx\right)-bm=\pm 2\sqrt{-am}\\ a^2{\left(y-mx\right)}^2+b^2{m}^2-2abm\left(y-mx\right)=-4am\\ a^2{y}^2+a^2{m}^2{x}^2-2a^{2}mxy+b^2{m}^2-2abmy+2ab{m}^{2}x+4am=0\\ \left(a^2{x}^2+b^2+2abx\right)m^2-\left(2a^{2}xy+2aby-4a\right)m+a^2{y}^2=0\\ {\left(ax+b\right)}^2{m}^2-2a\left(axy+by-2\right)m+a^2{y}^2=0\\ {\left(ax+b\right)}^2{m}^2-2a\left(\left(ax+b\right)y-2\right)m+{\left(\frac{a}{ax+b}\right)}^2=0\\ {\left(ax+b\right)}^2{m}^2+2am+{\left(\frac{a}{ax+b}\right)}^2=0\\ {\left(\left(ax+b\right)m+\frac{a}{ax+b}\right)}^2=0\\ m=-\frac{a}{{\left(a{x}^2+b\right)}^2}\end{array}$