数学 - 関数の定義(Definitions of Functions) - テイラー展開(Taylar's Expansion) - テイラー多項式 - オイラーの贈物

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ
(東海大学出版会)
吉田 武 (著)

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オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ (吉田 武(著)、東海大学出版会)の第2部(関数の定義(Definitions of Functions))、5章(テイラー展開(Taylar's Expansion))、5.1(テイラー多項式)、問題1.を解いてみる。

問題1.

$\begin{array}{l}{f}^{\left(0\right)}\left(x\right)=4x^3-5x^2-6x+1,f^{\left(0\right)}\left(2\right)=1\\ f^{\left(1\right)}\left(x\right)=12x^2-10x-6,f^{\left(1\right)}\left(2\right)=22\\ f^{\left(2\right)}\left(x\right)=24x-10,f^{\left(2\right)}\left(2\right)=38\\ f^{\left(3\right)}\left(x\right)=24,f^{\left(3\right)}\left(2\right)=24\\ \\ f\left(x\right)={\displaystyle \sum _{n=0}^3\frac{1}{k!}{f}^{\left(k\right)}\left(2\right){\left(x-2\right)}^k}\\ =\frac{1}{0!}·1{\left(x-2\right)}^0+\frac{1}{1!}·22{\left(x-2\right)}^1+\frac{1}{2!}·38·{\left(x-2\right)}^2+\frac{1}{3!}·24·{\left(x-2\right)}^3\\ =1+22\left(x-2\right)+19{\left(x-2\right)}^2+4{\left(x-2\right)}^3\\ \\ \frac{1}{x-2}+22+19\left(x-2\right)+4{\left(x-2\right)}^2\\ =4x^2+3x+\frac{1}{x-2}\end{array}$