数学 – 円の中にひそむ関数 - 三角関数 – (三角関数の諸公式(半角、2倍角)4)

数学読本〈2〉

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.2(加法定理)、三角関数の諸公式、問31.を取り組んでみる。

問31.

1. 
   $\begin{array}{l}\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta \\ =1-2{\sin }^2\theta \\ \sin \theta \ge 1-2{\sin }^2\theta \\ 2{\sin }^2\theta +\sin \theta -1\ge 0\\ \left(2\sin \theta -1\right)\left(\sin \theta +1\right)\ge 0\\ \sin \theta \le -1,\frac{1}{2}\le \sin \theta \\ \frac{\pi }{6}\le \theta \le \frac{5}{6}\pi ,\theta =\frac{3}{2}\pi \end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}\cos 2\theta -3\cos \theta -1\\ ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta -3\cos \theta -1\\ =2{\cos }^2\theta -3\cos \theta -2>0\\ \left(2\cos \theta +1\right)\left(\cos \theta -2\right)>0\\ \cos \theta <-\frac{1}{2},2<\cos \theta \\ \frac{2}{3}\pi <\theta <\frac{4}{3}\pi \end{array}$