数学 – 群 - 群とその例(可換群2)

代数系入門

学習環境

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、2(群とその例)、問8.を解いてみる。

問8.

1. 
   $\begin{array}{l}a,b\in G\\ abab=aabb\\ a^{-1}abab{b}^{-1}=a^{-1}aabb{b}^{-1}\\ ba=ab\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}a,b\in G\\ {\left(ab\right)}^n=a^n{b}^n\\ {\left(ab\right)}^{n+1}=a^{n+1}{b}^{n+1}\\ {\left(ab\right)}^{n+2}=a^{n+2}{b}^{n+2}\\ \\ ab{\left(ab\right)}^{n+1}=a^{n+2}{b}^{n+2}\\ ab{a}^{n+1}{b}^{n+1}=a^{n+2}{b}^{n+2}\\ ab{a}^{n+1}=a^{n+2}b\\ b{a}^{n+1}=a^{n+1}b\\ \\ ab{\left(ab\right)}^n=a^{n+1}{b}^{n+1}\\ ab{a}^n{b}^n=a^{n+1}{b}^{n+1}\\ ab{a}^n=a^{n+1}b\\ b{a}^n=a^{n}b\\ \\ b{a}^{n+1}=ab{a}^n\\ ba=ab\end{array}$