数学 – 群 - 部分群と生成系(部分集合、生成系、可換群)

代数系入門

学習環境

• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、3(部分群と生成系)、問7.を取り組んでみる。

問7.

$\begin{array}{l}Sによって生成されるGの部分群をHとする。\\ a,b\in H\\ x_1,···,x_n\in S\cup S^{-1}\\ a=x_1···x_n\\ x{\text{'}}_1,···,x{\text{'}}_m\in S\cup S^{-1}\\ b=x{\text{'}}_1···x{\text{'}}_m\\ ab=x_1···x_{n}x{\text{'}}_1···x{\text{'}}_m\\ \\ s\in S,s\text{'}\in S^{-1}\\ s_0\in S\\ s\text{'}=s_0{}^{-1}\\ \\ ss\text{'}=s{s}_0{}^{-1}\\ =es{s}_0{}^{-1}\\ =\left(s_0{}^{-1}{s}_0\right)s{s}_0^{-1}\\ =s_0{}^{-1}\left(s_{0}s\right)s_0{}^{-1}\\ =s\text{'}\left(s{s}_0\right)s_0{}^{-1}\\ =s\text{'}s\left(s_0{s}_0{}^{-1}\right)\\ =s\text{'}se\\ =s\text{'}s\\ \\ ab=x_1···x{\text{'}}_1{x}_n···x{\text{'}}_m\\ =x{\text{'}}_1{x}_1···x_{n-1}x{\text{'}}_1···x{\text{'}}_m{x}_n\\ ···\\ =x{\text{'}}_1···x{\text{'}}_m{x}_1···x_n\\ =ba\end{array}$