数学 – 円の中にひそむ関数 - 三角関数 – (三角関数の諸公式(最大値と最小値))

数学読本〈2〉

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.2(加法定理)、三角関数の諸公式、問33.を取り組んでみる。

問33.

1. 
   $\begin{array}{l}y=2{\left(\sin x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{3}{2}\\ -1\le \sin x\le 1\\ 最大値3\\ 最小値-\frac{3}{2}\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}y=\sin x\cos \frac{\pi }{4}+\cos x\sin \frac{\pi }{4}+\cos x\cos \frac{\pi }{4}+\sin x\sin \frac{\pi }{4}\\ =\frac{2}{\sqrt{2}}\left(\sin x+\cos x\right)\\ =\frac{2}{\sqrt{2}}·\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)\\ =2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\\ -1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1\\ 最大値2\\ 最小値-2\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}y=\frac{1-\cos 2x}{2}+\sqrt{3}·\frac{\sin 2x}{2}\\ =\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x\right)\\ =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x\\ =\frac{1}{2}+\sin 2x\cos \frac{11}{6}\pi -\cos 2x\sin \frac{11}{6}\pi \\ =\frac{1}{2}+\sin \left(2x+\frac{11}{6}\pi \right)\\ 最大値\frac{3}{2}\\ 最小値-\frac{1}{2}\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}y=1+4\sin 2x+4·\frac{\cos 2x+1}{2}\\ =3+4\sin 2x+2\cos 2x\\ =3+2\left(2\sin 2x+\cos 2x\right)\\ =3+2·\sqrt{5}\left(\sin 2x\frac{2}{\sqrt{5}}+\cos 2x\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\\ =3+2\sqrt{5}\left(\sin 2x\cos \theta +\cos 2x\sin \theta \right)\\ =3+2\sqrt{5}\sin \left(2x+\theta \right)\\ 最大値3+2\sqrt{5}\\ 最小値3-2\sqrt{5}\end{array}$
5. 
   $\begin{array}{l}y={\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\\ =1-2{\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)}^2\\ =-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x+1\\ 最大値1\\ 最小値\frac{1}{2}\end{array}$