数学 – 円の中にひそむ関数 - 三角関数 – (三角関数の諸公式(和、差、積))

数学読本〈2〉

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.2(加法定理)、三角関数の諸公式、問34.を取り組んでみる。

問34.

1. 
   $\sin 3\theta \cos \theta =\frac{\sin 4\theta +\sin 2\theta }{2}$
2. 
   $\cos \theta \cos 7\theta =\frac{\cos 6\theta +\cos 8\theta }{2}$
3. 
   $\sin 3\theta \sin 2\theta =\frac{\cos \theta -\cos 5\theta }{2}$
4. 
   $\begin{array}{l}\sin \theta +\sin 3\theta \\ =\sin \left(2\theta -\theta \right)+\sin \left(2\theta +\theta \right)\\ =2\sin 2\theta \cos \theta \end{array}$
5. 
   $\begin{array}{l}\sin 4\theta -\sin 2\theta \\ =\sin \left(3\theta +\theta \right)-\sin \left(3\theta -\theta \right)\\ =-2\cos 3\theta \sin \theta \\ =-2\cos 3\theta \sin \theta \\ =2\cos \left(-3\theta \right)\sin \theta \\ =2\cos 3\theta \sin \theta \end{array}$
6. 
   $\begin{array}{l}\cos 9\theta +\cos \theta \\ =\cos \left(5\theta +4\theta \right)+\cos \left(5\theta -4\theta \right)\\ =2\cos 5\theta \cos 4\theta \end{array}$
7. 
   $\begin{array}{l}\cos 2\alpha -\cos 2\beta \\ =\cos \left(\alpha +\beta +\alpha -\beta \right)-\cos \left(\alpha +\beta -\left(\alpha -\beta \right)\right)\\ =-2\sin \left(\alpha +\beta \right)\sin \left(\alpha -\beta \right)\end{array}$