数学 – 円の中にひそむ関数 - 三角関数 – (余弦定理、辺の長さと角の大きさの関係)

数学読本〈2〉

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.2(加法定理)、余弦定理、問43.を取り組んでみる。

問43.

$\begin{array}{l}{x}^2-1-\left(2x+1\right)\\ =x^2-2x-2\\ x=1\pm \sqrt{1+2}=1\pm \sqrt{3}\\ 1<x<1+\sqrt{3}\\ x^2-1<2x+1\\ 1+\sqrt{3}\le x\\ x^2-1\ge 2x+1\\ \\ x^2+x+1-\left(x^2-1\right)\\ =x+2>0\\ x^2+x+1>x^2-1\\ \\ x^2+x+1-\left(2x+1\right)\\ =x^2-x\\ =x\left(x-1\right)\\ x^2+x+1>2x+1\\ \\ {\left(x^2+x+1\right)}^2={\left(2x+1\right)}^2+{\left(x^2-1\right)}^2-2\left(2x+1\right)\left(x^2-1\right)\cos A\\ x^4+2x^3+3x^2+2x+1\\ =4x^2+4x+1+x^4-2x^2+1-2\left(2x+1\right)\left(x^2-1\right)\cos A\\ \cos A=-\frac{2x^3+x^2-2x-1}{-2\left(2x+1\right)\left(x^2-1\right)}\\ =-\frac{2x^3+x^2-2x-1}{-2\left(2x^2+x^2-2x-1\right)}\\ =-\frac{1}{2}\\ A=\frac{2}{3}\pi \end{array}$