数学 – 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル – (内積を成分で表すこと)

数学読本〈3〉

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と複素平面/空間図形/2次曲線/数列 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.1(ベクトルとその演算)、内積を成分で表すこと、問15、16、17..を取り組んでみる。

問15.

$\begin{array}{l}\left|a_1{b}_1+a_2{b}_2\right|\le \sqrt{a_1{}^2+a_2{}^2}\sqrt{b_1{}^2+b_2{}^2}\\ {\left(a_1{b}_1+a_2{b}_2\right)}^2\le \left(a_1^2+a_2^2\right)\left(b_1{}^2+b_2{}^2\right)\end{array}$

問16

1. 
   $\cos \theta =\frac{-1}{\sqrt{13}·\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{26}}$
2. 
   $\cos \theta =\frac{3}{3·2}=\frac{1}{2},\theta =\frac{\pi }{3}$
3. 
   $\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}},\theta =\frac{\pi }{4}$

問17

1. 
   $\begin{array}{l}\left(2,3\right)·\left(2+x,3-x\right)=0\\ 4+2x+9-3x=0\\ x=13\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}\left(1,4\right)·\left(2+x,3-x\right)=0\\ 2+x+12-4x=0\\ x=\frac{14}{3}\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}\left(2+x,3-x\right)·\left(2-x,3+x\right)=0\\ 4-x^2+9-x^2=0\\ x^2=\frac{13}{2}\\ x=\pm \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{26}}{2}\end{array}$