数学 – 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル – (円とベクトル、ニュートンの定理)

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と複素平面/空間図形/2次曲線/数列 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.2(ベクトルの応用)、円とベクトル、問39、40、41、42.を取り組んでみる。

問39

\begin{array}{l} \vec{A E} = \frac{n \vec{b} + \vec{c}}{1 + n} \\ \vec{d} = \frac{\vec{b}}{1 + n} \\ \vec{f} = \frac{n \vec{c}}{1 + n} \\ \vec{D F} = \vec{f} - \vec{d} = \frac{n \vec{c} - \vec{b}}{1 + n} \\ \vec{A E} \cdot \vec{D F} = \frac{n \vec{b} + \vec{c}}{1 + n} \cdot \frac{- \vec{b} + n \vec{c}}{1 + n} \\ = \frac{1}{1 + n} (- n \vec{b} \cdot \vec{b} + n^{2} \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{c} + n \vec{c} \cdot \vec{c}) \\ = \frac{1}{1 + n} (- n {| \vec{b} |}^{2} + n {| \vec{c} |}^{2}) \\ = 0 \\ \vec{A E} ⊥ \vec{D F} \end{array}

問40

\begin{array}{l} \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \\ \vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \\ \vec{c} = m \vec{a} \\ \vec{d} = n \vec{b} \\ | \vec{a} | | m \vec{a} | = | n \vec{b} | | \vec{b} | \\ m {| \vec{a} |}^{2} = n {| \vec{b} |}^{2} \\ \vec{C D} = n \vec{b} - m \vec{a} \\ \vec{m} \cdot (n \vec{b} - m \vec{a}) \\ = (\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}) \cdot (n \vec{b} - m \vec{a}) \\ = \frac{1}{2} (n \vec{a} \cdot \vec{b} - m \vec{a} \cdot \vec{a} + n \vec{b} \cdot \vec{b} - m \vec{a} \cdot \vec{b}) \\ = \frac{1}{2} (n {| \vec{b} |}^{2} - m {| \vec{a} |}^{2}) \\ = 0 \\ \vec{m} ⊥ \vec{C D} \end{array}

問41

\begin{array}{l} \vec{m} = \frac{\vec{e} + \vec{g}}{2} \\ \vec{B C} = \vec{c} - \vec{b} \\ \vec{m} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) \\ = \frac{1}{2} (\vec{e} + \vec{g}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) \\ = \frac{1}{2} (\vec{c} \cdot \vec{e} - \vec{b} \cdot \vec{e} + \vec{g} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{g}) \\ = \frac{1}{2} (\vec{c} \cdot \vec{e} - \vec{b} \cdot \vec{g}) \\ = \frac{1}{2} (| \vec{c} | | \vec{e} | \cos θ - | \vec{b} | | \vec{g} | \cos θ) \\ = 0 \end{array}

問42

\begin{array}{l} \vec{c} = (1 - m) k \vec{a} + m \vec{b} \\ \vec{c} = (1 - n) \vec{a} + n l \vec{b} \\ m = n l \\ (1 - n l) k = 1 - n \\ k - n l k = 1 - n \\ (1 - l k) n = 1 - k \\ n = \frac{1 - k}{1 - l k} \\ c = \frac{k (1 - l)}{1 - l k} \vec{a} + \frac{l (1 - k)}{1 - l k} \vec{b} \\ \vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \\ \vec{q} = \frac{1}{2} (\frac{k (1 - l)}{1 - l k} \vec{a} + \frac{l (1 - k)}{1 - l k} \vec{b}) \\ \vec{r} = \frac{k \vec{a} + l \vec{b}}{2} \\ \vec{P Q} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{1}{2} (\frac{k - k l - 1 + k l}{1 - k l} \vec{a} + \frac{l - k l - 1 + k l}{1 - k l} \vec{b}) \\ = \frac{1}{2} (\frac{k - 1}{1 - k l} \vec{a} + \frac{l - 1}{1 - k l} \vec{b}) \\ \vec{P R} = \vec{r} - \vec{p} = \frac{1}{2} ((k - 1) \vec{a} + (l - 1) \vec{b}) \\ \vec{P Q} = \frac{1}{(1 - k l)} \vec{P R} \end{array}

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