数学 – 代数学 - 整数 - 素数、素因数分解(合成数、真の約数)

代数系入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題8.を取り組んでみる。

問題8.

$\begin{array}{l}e=dn\left(d>1,n>1\right)\left(素数ではない、合成数\right)と仮定。\\ 2^e-1\\ =2^{dn}-1\\ ={\left(2^d\right)}^n-1\\ f\left(x\right)=x^n-1\\ f\left(1\right)=0\\ f\left(x\right)=A\left(x-1\right)\left(A\in \mathbb{Z}\right)\\ f\left(2^d\right)=A\left(2^d-1\right)={\left(2^d\right)}^n-1\\ 2^e-1=A\left(2^d-1\right)\\ 2^d-1=2^e-1\\ d=e\\ 仮定と矛盾。\end{array}$