数学 - 2次曲線と直線 - 2次曲線 – 2次曲線と直線(2次曲線の回転)

数学読本〈3〉

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と2次曲線と直線/空間図形/2次曲線/数列 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(2次曲線と直線 - 2次曲線)、12.2(2次曲線と直線)、2次曲線の回転、問26.を取り組んでみる。

問26.

1. 
   $\begin{array}{l}x\cos {45}^{°}+y\sin {45}^{°}=\frac{x+y}{\sqrt{2}}\\ -x\sin {45}^{°}+y\cos {45}^{°}=\frac{-x+y}{\sqrt{2}}\\ 3·\frac{{\left(x+y\right)}^2}{2}+2\frac{x^2-y^2}{2}+3\frac{{\left(x-y\right)}^2}{2}=2\\ 8x^2+4y^2=4\\ 2x^2+y^2=1\\ 楕円\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}x\cos {30}^{°}+y\sin {30}^{°}=\frac{x+\sqrt{3}y}{2}\\ -x\sin {30}^{°}+y\cos {30}^{°}=\frac{-\sqrt{3}x+y}{2}\\ 2\frac{x^2+2\sqrt{3}xy+3y^2}{4}+2\sqrt{3}\frac{-\sqrt{3}{x}^2+\sqrt{3}{y}^2-2xy}{4}=-1\\ \frac{-4x^2+12y^2}{4}=-1\\ x^2-3y^2=1\\ 双曲線\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}x\cos {45}^{°}+y\sin {45}^{°}=\frac{x+y}{\sqrt{2}}\\ -x\sin {45}^{°}+y\cos {45}^{°}=\frac{-x+y}{\sqrt{2}}\\ 2y^2=2x\\ y^2=x\\ 放物線\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}x\cos -{45}^{°}+y\sin -{45}^{°}=\frac{x-y}{\sqrt{2}}\\ -x\sin -{45}^{°}+y\cos -{45}^{°}=\frac{x+y}{\sqrt{2}}\\ \frac{{\left(x-y\right)}^2}{2}-\frac{x^2-y^2}{2}+\frac{{\left(x+y\right)}^2}{2}=3\\ x^2+2y^2=6\\ \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1\\ 楕円\end{array}$
5. 
   $\begin{array}{l}x\cos {60}^{°}+y\sin {60}^{°}=\frac{x+\sqrt{3}y}{2}\\ -x\sin {60}^{°}+y\cos {60}^{°}=\frac{-\sqrt{3}x+y}{2}\\ {\left(\frac{\sqrt{3}x+y}{2}+\frac{-\sqrt{3}x+y}{2}\right)}^2=4\left(\frac{x+\sqrt{3}y}{2}-\frac{-x+\sqrt{3}y}{2}\right)\\ y^2=4x\\ 放物線\end{array}$
6. 
   $\begin{array}{l}x\cos {45}^{°}+y\sin {45}^{°}=\frac{x+y}{\sqrt{2}}\\ -x\sin {45}^{°}+y\cos {45}^{°}=\frac{-x+y}{\sqrt{2}}\\ \frac{{\left(x+y\right)}^2}{2}-6\frac{x^2-y^2}{2}+\frac{{\left(x-y\right)}^2}{2}=-4\\ -4x^2+8y^2=-8\\ \frac{x^2}{2}-y^2=1\\ 双曲線\end{array}$