数学 - 解析学 - JavaScript - 数列と級数 - 数列の収束条件(下に有界な単調減少数列、極限値)

解析入門〈1〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• Emacs (Text Editor)
• JavaScript (プログラミング言語)
• D3.js (JavaScript Library)
• 参考書籍
  • JavaScript 第6版 (David Flanagan(著)、村上 列(翻訳)、オライリージャパン)
  • JavaScriptリファレンス 第6版(David Flanagan(著)、木下 哲也(翻訳)、オライリージャパン)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション(Scott Murray (著)、長尾 高弘 (翻訳)、オライリージャパン)

解析入門〈1〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.2(数列の収束条件)、問題2.2、2.を取り組んでみる。

問2

$\begin{array}{l}{a}_1{}^2=1<2\\ a_n{}^2<2\\ と仮定する\\ a_{n+1}{}^2=6+a_n<6+2<8\\ a_1^2<10\\ \left(a_n\right)は有界。\\ a_n-a_{n+1}\\ =a_n-\sqrt{6+a_n}\\ <2-\sqrt{6}\\ <0\\ 単調減少で下に有界なので収束する。\\ \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\alpha \\ \alpha =\sqrt{6+\alpha }\\ {\alpha }^2=6+\alpha \\ \left(\alpha -3\right)\left(\alpha +2\right)=0\\ \alpha >0より\\ \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=3\end{array}$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<div id="output0"></div>
<label for="n0">n = </label>
<input id="n0" type="number" min="1" value="10">


<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>
<script src="sample2.js"></script>

JavaScript

{
    let div_graph = document.querySelector('#graph0'),
        div_output = document.querySelector('#output0'),
        input_n = document.querySelector('#n0'),
        width = 600,
        height = 600,
        padding = 50;

    let f = (prev) => {
        return Math.sqrt(6 + prev);
    };
    let getPoints = (n) => {
        let prev = 1,
            result = [[1, prev]];n

        for (let i = 2; i <= n; i += 1) {
            let next = f(prev);
            result.push([i, next]);
            prev = next;
        }
        return result;
    }
    let plot = () => {
        let n = parseInt(input_n.value, 10),
            points = getPoints(n);
        
        let xscale = d3.scaleLinear()
            .domain([1, n])
            .range([padding, width - padding])
        let yscale = d3.scaleLinear()
            .domain([points[0][1], 4])
            .range([height - padding, padding]);

        console.log(points.map((x) => x[1]));
        div_graph.innerHTML = '';
        let svg = d3.select('#graph0')
            .append('svg')
            .attr('width', width)
            .attr('height', height);

        svg.selectAll('circle')
            .data(points)
            .enter()
            .append('circle')
            .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
            .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
            .attr('r', 2)
            .attr('color', 'green');

        let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
        let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);

        svg.append('line')
            .attr('x1', xscale(1))
            .attr('y1', yscale(3))
            .attr('x2', xscale(n))
            .attr('y2', yscale(3))
            .attr('stroke', 'red');
        
        svg.append('g')
            .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
            .call(xaxis);
        svg.append('g')
            .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
            .call(yaxis);

        div_output.innerHTML = points.map((x) => `${x[0]}: ${x[1]}`).join('<br>');
    };

    input_n.onchange = plot;
    plot();

}

n =