数学 - 「離散的」な世界 - 数列 – 数列とその和 - その他の数列

数学読本〈3〉

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と数列とその和/空間図形/2次曲線/数列(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(「離散的」な世界 - 数列)、13.1(数列とその和)、その他の数列、問22、23.を取り組んでみる。

問22.

1. 
   $\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)}}\\ \frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)}\\ =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\\ =\frac{n}{2n+1}\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)}\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n-1+2}-\frac{1}{n+2}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}{a}_k=\frac{1}{\frac{k\left(k+1\right)}{2}}=\frac{2}{k\left(k+1\right)}=2\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\ 2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{2n}{n+1}\end{array}$

問23.

1. 
   $\begin{array}{l}S=1+·2·2+3·2^2+4·2^3+5·2^4+···\\ 2S=0+2+2·2^2+3·2^3+4·2^4+···\\ -S=1+2^1+2^2+2^3+···+2^{n-1}-n·2^n\\ -S=\frac{1-2^n}{1-2}-n·2^n\\ S=-2^n+1+n·2^n\\ =\left(n-1\right)·2^n+1\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}S=1·2+3·2^2+5·2^3+···\\ 2S=0+1·2^2+3·2^3+···\\ -S=2+2·2^2+2·2^3+···+2·2^n-\left(2n-1\right)·2^{n+1}\\ S=-2-2^3·\frac{2^{n-1}-1}{2-1}+\left(2n-1\right)2^{n+1}\\ =\left(2n-3\right)2^{n+1}+6\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}S=\frac{1}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{5}{3^3}+···+\frac{2n-1}{3^n}\\ \frac{1}{3}S=0+\frac{1}{3^2}+\frac{3}{3^3}+···+\frac{2n-3}{3^n}+\frac{2n-1}{3^{n+1}}\\ \frac{2}{3}S=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+···++\frac{2}{3^n}-\frac{2n-1}{3^{n+1}}\\ \frac{2}{3}S=\frac{1}{3}-\frac{2n-1}{3^{n+1}}+\frac{2}{3^2}·\frac{1-\frac{1}{3^{n-1}}}{1-\frac{1}{3}}\\ S=\frac{1}{2}-\frac{2n-1}{2·3^n}+\frac{1}{3}·\frac{3}{2}·\frac{3^{n-1}-1}{3^{n-1}}\\ =\frac{1}{2}-\frac{2n-1}{2·3^n}+\frac{3^n-3}{2·3^n}\\ =\frac{1}{2}-\frac{2n-1}{2·3^n}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2·3^n}\\ =1-\frac{n+1}{3^n}\end{array}$