2017年1月12日木曜日

学習環境

数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と数学的帰納法と数列/空間図形/2次曲線/数列(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(「離散的」な世界 - 数列)、13.2(数学的帰納法と数列)、数学的帰納法、問27、28、29.を取り組んでみる。

問27.

a n < b n a n+1 <a b n <b b n = b n+1 a n+1 < b n+1

問28.


  1. n=1 1 6 ·2·3=1 1 6 n( n+1 )( 2n+1 )+ ( n+1 ) 2 = ( n+1 )( n( 2n+1 )+6( n+1 ) ) 6 = 1 6 ( n+1 )( 2 n 2 +7n+6 ) = 1 6 ( n+1 )( n+2 )( 2n+3 )

  2. 1 1·2 = 1 1+1 1 1·2 +···+ 1 n( n+1 ) + 1 ( n+1 )( n+2 ) = n n+1 + 1 ( n+1 )( n+2 ) = n( n+2 )+1 ( n+1 )( n+2 ) = n 2 +2n+1 ( n+1 )( n+2 ) = ( n+1 ) 2 ( n+1 )( n+2 ) = n+1 n+2

  3. 1·2·3=6 1 4 ·1·2·3·4=6 1·2·3+···+n( n+1 )( n+2 )+( n+1 )( n+2 )( n+3 ) = 1 4 n( n+1 )( n+2 )( n+3 )+( n+1 )( n+2 )( n+3 ) = ( n+1 )( n+2 )( n+3 )( n+4 ) 4

  4. 1 1 2 = 1 2 1 1 2 +···+ 1 2n1 1 2n + 1 2n+1 1 2n+2 = 1 n+1 + 1 n+2 +···+ 1 2n + 1 2n+1 1 2n+2 = 1 n+2 +···+ 1 2n + 1 2n+1 1 2n+2 + 1 n+1 = 1 n+2 +···+ 1 2n + 1 2n+1 + 1 2n+2

  5. 1 2 2 2 =3 1·3=3 1 2 2 2 +···+ ( 2n1 ) 2 ( 2n ) 2 + ( 2n+1 ) 2 ( 2n+2 ) 2 =n( 2n+1 )+ ( 2n+1 ) 2 ( 2n+2 ) 2 =2 n 2 5n3 =( n+1 )( 2n+3 )

問29.

871=0 8 n+1 7( n+1 )1 =8· 8 n 7n71 =8· 8 n 7n8 =8( 8 n 7n1 )+49n

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