数学 - 「離散的」な世界 - 数列 – 数学的帰納法と数列 - 数学的帰納法(大小の比較)

数学読本〈3〉

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と数学的帰納法と数列/空間図形/2次曲線/数列(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(「離散的」な世界 - 数列)、13.2(数学的帰納法と数列)、数学的帰納法、問31.を取り組んでみる。

問31.

$\begin{array}{l}\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\\ =\frac{a^2-2ab+b^2}{4}\\ ={\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2\\ >0\\ \\ \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-\frac{a^k+b^k}{2}·\frac{a+b}{2}\\ =\frac{2\left(a^{k+1}+b^{k+1}\right)-\left(a^{k+1}+b^{k+1}+a^{k}b+a{b}^k\right)}{4}\\ =\frac{a^{k+1}+b^{k+1}-a^{k}b-a{b}^k}{4}\\ =\frac{\left(a^k-b^k\right)\left(a-b\right)}{4}\\ \\ a>b\\ a^k>b^k\\ \\ a<b\\ a^k<b^k\\ \\ \frac{\left(a^k-b^k\right)\left(a-b\right)}{4}>0\\ \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-\frac{a^k+b^k}{2}·\frac{a+b}{2}>0\\ \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\\ >\frac{a^k+b^k}{2}·\frac{a+b}{2}\\ >{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^k\frac{a+b}{2}\\ ={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{k+1}\\ \\ \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}>{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{k+1}\end{array}$