2017年1月18日水曜日

学習環境

数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と数学的帰納法と数列/空間図形/2次曲線/数列(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(「離散的」な世界 - 数列)、13.2(数学的帰納法と数列)、数学的帰納法、問32、33.を取り組んでみる。

問32.


  1. b n = a n+1 a n = a n +2n a n =2n n>1 a n = a 1 + i=1 n1 b i =1+2· ( n1 )n 2 = n 2 n+1 1 2 1+1=1 a n = n 2 n+1

  2. b n = a n+1 a n = a n + 3 n a n = 3 n n>1 a n = a 1 + i=1 n1 b n =2+ 3( 3 n1 1 ) 31 = 3 n 2 + 1 2 3 2 + 1 2 =2 a n = 1 2 ( 3 n +1 )

  3. x=3x2 x=1 a n+1 1=3( a n 1 ) a n 1=( 21 )· 3 n1 a n = 3 n1 +1

  4. x=2x+9 x=3 a n+1 3=2( x3 ) a n 3=( 13 )· ( 2 ) n1 a n = ( 2 ) n +3

  5. 2x=x6 x=6 2( a n+1 +6 )= a n +6 a n+1 +6= 1 2 ( a n +6 ) a n +6=( 2+6 )· 1 2 n1 a n = 1 2 n4 6

  6. 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 a n+1 = n n+1 · 1 n = 1 n+1 a n = 1 n

  7. 2, 2 3 , 2 5 , 2 7 , 2 9 a n+1 = 2 2n1 2 2n1 +1 = 2 2n1 · 2n1 2n+1` = 2 2( n+1 )1 a n = 2 2n1

  8. 3,3,6,12,24 n>1 a n+1 = a 1 + a 2 +···+ a n1 + a n =2 a n a n =3· 2 n2 a 1 =3, a n =3· 2 n2 ( n>1 )

問33.

1, 1 3 , 1 7 , 1 15 , 1 31 a n+1 = 1 2 n 1 1 2 n 1 +2 = 1 2 n 1 · 2 n 1 1+ 2 n+1 2 = 1 2 n+1 1 a n = 1 2 n 1

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