数学 - 線形代数学 - R^nにおけるベクトル – スカラー積

ラング線形代数学(上)
原著

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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^nにおけるベクトル)、3(スカラー積)、練習問題1-8.を取り組んでみる。

1. 1. 
      $4+1=5$
   2. 
      $1+9=10$
   3. 
      $4+1+25=30$
   4. 
      $1+4+9=14$
   5. 
      ${\pi }^2+9+1={\pi }^2+10$
   6. 
      $225+4+16=245$
2. 1. 
      $-2-1=-3$
   2. 
      $12$
   3. 
      $-2-1+5=2$
   4. 
      $1-6-12=-17$
   5. 
      $2{\pi }^2-9-7=2{\pi }^2-16$
   6. 
      $15\pi -6-4=15\pi -10$
3. 
   $\begin{array}{l}{\left(A+B\right)}^2\\ =\left(A+B\right)·\left(A+B\right)\\ =\left(A+B\right)·A+\left(A+B\right)·B\\ =A·A+B·A+A·B+B·B\\ =A^2+A·B+A·B+B^2\\ =A^2+2A·B+B^2\\ \\ {\left(A-B\right)}^2\\ ={\left(A+\left(-B\right)\right)}^2\\ =A^2+2A·\left(-B\right)+{\left(-B\right)}^2\\ =A^2-2A·B+B^2\end{array}$
4. 1. 
      $2-1+5=6$
   2. 
      $2-3+1=0$
   3. 
      $-15-2+14=-3$
   4. 
      $2\pi -2\pi =0$
   (b)と(d)
5. 
   $\begin{array}{l}SP1\\ {\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)g\left(x\right)dx={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}g\left(x\right)f\left(x\right)dx}}\\ SP2\\ {\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)\left(g\left(x\right)+h\left(x\right)\right)dx={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)h\left(x\right)dx}}\\ SP3\\ {\displaystyle {\int }_{-1}^{1}cf\left(x\right)g\left(x\right)dx=c{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)g\left(x\right)dx}}\\ SP4\\ f=0\Rightarrow {\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)f\left(x\right)dx={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}0dx}=0}\\ f\ne 0\Rightarrow {\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)f\left(x\right)dx={\displaystyle {\int }_{-1}^1{\left(f\left(x\right)\right)}^{2}dx>0}}\end{array}$
6. 
   $\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)f\left(x\right)dx}\\ ={\displaystyle {\int }_{-1}^1{x}^{2}dx}\\ =\frac{1}{3}\left(1^3-{\left(-1\right)}^3\right)\\ =\frac{2}{3}\\ {\displaystyle {\int }_{-1}^{1}g\left(x\right)g\left(x\right)dx}\\ ={\displaystyle {\int }_{-1}^1{x}^{4}dx}\\ =\frac{1}{5}\left(1^5-{\left(-1\right)}^5\right)\\ =\frac{2}{5}\\ {\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)g\left(x\right)dx}\\ ={\displaystyle {\int }_{-1}^1{x}^{3}dx}\\ =\frac{1}{4}\left(1^4-{\left(-1\right)}^4\right)\\ =0\end{array}$
7. 
   $\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nx·\cos mxdx}\\ ={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}\left(\sin \left(mx+nx\right)-\sin \left(mx-nx\right)\right)dx}\\ \sin xは奇関数より、\\ {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}\left(\sin \left(mx+nx\right)-\sin \left(mx-nx\right)\right)dx}=0\\ {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nx·\cos mxdx}=0\end{array}$
8. 
   $\begin{array}{l}A·X=0\\ A\ne Oと仮定する。\\ X=A\\ A\ne O\wedge A·A=0\\ となり、SP4が成り立たない。\\ よって矛盾。\\ A=O\end{array}$