数学 - 線形代数学 - R^nにおけるベクトル – 直線と平面(パラメーター方程式、垂直)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^nにおけるベクトル)、5(直線と平面)、練習問題1-8.を取り組んでみる。

1. 
   $\begin{array}{l}x=1-3t\\ y=1\\ z=-1+4t\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}x=-1+4t\\ y=5-9t\\ z=2-t\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}\left(x+5,y-3\right)·\left(1,-1\right)=0\\ x+5-y+3=0\\ x-y=-8\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}\left(x-3,y-2\right)·\left(-5,4\right)=0\\ -5x+15+4y-8=0\\ 5x-4y=7\end{array}$
5. 
   $6-15=-9\ne 0$
6. 1. 
      $6-5=1\ne 0$
   2. 
      $2-7=-5\ne 0$
   3. 
      $15-15=0$
   4. 
      $-1+1=0$
7. 1. 
      $\begin{array}{l}\left(x-4,y-2,z+1\right)·\left(1,-1,3\right)=0\\ x-y+3z=-1\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}\left(x-2,y-\pi ,z+5\right)·\left(-3,-2,4\right)=0\\ -3x-2y+4z=-26-2\pi \\ 3x+2y-4z=26+2\pi \end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}\left(x-2,y-3,z-7\right)·\left(-1,0,5\right)=0\\ -x+5z=33\end{array}$
8. 1. 
      $\begin{array}{l}2a+b+c=d\\ 3a-b+c=d\\ 4a+b-c=d\\ 7a=2d\\ d=\frac{7}{2}a\\ 6a+2b=2d\\ 6a+2b=7a\\ b=\frac{1}{2}a\\ 5a+2c=2d\\ 5a+2c=7a\\ c=a\\ 2x+y+2z=7\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}-2a+3b-c=d\\ 2a+2b+3c=d\\ -4a-b+c=d\\ \\ 5b+2c=2d\\ 3b+7c=3d\\ -7b+3c=-d\\ \\ -9b+8c=0\\ c=\frac{9}{8}b\\ d=7b-\frac{27}{8}b=\frac{29}{8}b\\ a=\frac{1}{2}\left(d-2b-3c\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{29}{8}b-2b-\frac{27}{8}b\right)=\frac{1}{2}·\frac{-14}{8}b=-\frac{7}{8}b\\ 7x-8y-9z=-29\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}-5a-b+2c=d\\ a+2b-c=d\\ 3a-b+2c=d\\ \\ 6a+3b-3c=0\\ 22a-3b+3c=0\\ 8a=0\\ a=0\\ b=c\\ d=c\\ y+z=1\end{array}$