数学 - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 微分係数、導関数 - 変化率

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第3章(微分係数、導関数)、8(変化率)、1-10.を取り組んでみる。

1. 1. 
      $\begin{array}{l}s\text{'}\left(t\right)=3t^2-2\\ s\text{'}\text{'}\left(t\right)=6t\\ 6t=1\\ t=\frac{1}{6}\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}6t=0\\ t=0\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}6t=-5\\ \left(t=-\frac{5}{6}\right)\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}s\text{'}\left(t\right)=8t^3+2t\\ 8t^3+2t=0\\ 2t\left(4t^2+1\right)=0\\ t=0\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}v\text{'}\left(t\right)=20t^4\\ v\text{'}\left(2\right)=320\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}v\left(t\right)=3t^2-2\\ v\text{'}\left(t\right)=6t\\ 6t=0\\ t=0\end{array}$
5. 
   $\begin{array}{l}V\left(x\right)=x^3\\ x=x\left(t\right)\\ \frac{d\left(V\left(x\left(t\right)\right)\right)}{dt}\\ \frac{dV}{dt}=3x{\left(t\right)}^{2}x\text{'}\left(t\right)\\ x\text{'}\left(t\right)=5\\ \frac{dV}{dt}=3x{\left(t\right)}^2·5=3·16·5=240c{m}^3/秒\end{array}$
6. 
   $\begin{array}{l}V\left(r\right)=\frac{4\pi r^3}{3}\\ r=r\left(t\right)\\ \frac{d\left(V\left(r\left(t\right)\right)\right)}{dt}\\ \frac{dV}{dt}=4\pi r{\left(t\right)}^2·r\text{'}\left(t\right)\\ 4\pi ·9·1=36\pi c{m}^3/秒\end{array}$
7. 
   $\begin{array}{l}A\left(r\right)=\pi r^2\\ \frac{dA}{dr}=2\pi r\\ \\ A\left(d\right)=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2\\ \frac{dA}{dd}=2\pi ·\frac{d}{2}·\frac{1}{2}=\frac{\pi d}{2}\\ \\ A\left(c\right)=\pi {\left(\frac{c}{2\pi }\right)}^2\\ \frac{dA}{dc}=2\pi ·\frac{c}{2\pi }·\frac{1}{2\pi }=\frac{c}{2\pi }\end{array}$
8. 
   $\begin{array}{l}x=x\left(t\right)\\ \frac{dy}{dt}=\frac{-2x}{{\left(x^2+4\right)}^2}·x\text{'}\left(t\right)\\ \frac{-2·2}{{\left(2^2+4\right)}^2}·3=\frac{-12}{64}=-\frac{3}{16}/秒\end{array}$
9. 1. 
      $\begin{array}{l}\frac{20}{x+s}=\frac{5}{s}\\ 20s=5x+5s\\ s=\frac{1}{3}x\\ \frac{ds}{dt}=\frac{1}{3}·\frac{dx}{dt}\\ \frac{4}{3}フィート/秒\end{array}$
   2. 
      $1フィート/秒$
10. 1. 
       $\frac{5}{3}フィート/秒$
    2. 
       $2フィート/秒$