2017年6月25日日曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、3(線形写像の像と核)、練習問題1、2、3.を取り組んでみる。


  1. v R 2 v= x 1 A+ x 2 B F( v ) =F( x 1 A+ x 2 B ) = x 1 F( A )+ x 2 F( B )

    F( R 2 )={ O } とする。

    x 1 F( A )+ x 2 F( B )=O x 1 O+ x 2 O=O ( x 1 + x 2 )O=O O=O

    F(A)、F(B)は一次従属。

    0次元で1次元ではない。

    F(A)、F(B)が一次独立であるとする。

    Fの像は1次元ではない。 n2

    x 1 F( A )+ x 2 F( B )=O x 1 = x 2 =0 F( R 2 )={ O }1F( A )+F( B )=1O+O=O

    矛盾。

    Fの像が1次元であるとする。

    F( R 2 ){ O }

    基底は1つなので、F(A)、F(B)は一次独立ではない。


  2. X=( 1,1,0,1 )+t( 1,2,1,4 )+s( 3,3,1,0 )

  3. 以下をVの基底とする。

    { v 1 ,, v n }

    次のことが成り立つ。

    vV v= x 1 v 1 ++ x n v n F( v )= x 1 F( v 1 )++ x n F( v n ) x 1 F( v 1 )++ x n F( v n )=O F( x 1 v 1 ++ x n v n )=O x 1 v 1 ++ x n v n =O x 1 == x n =0

    よって、以下はWの基底となる。

    { F( v 1 ),,F( v n ) }

    よって、Fの像はW全体である。

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