2017年6月21日水曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題20、21.を取り組んでみる。


  1. BA x 2 x 1 ( CA ) ( BA )+ x 2 x 1 ( CA )0 x 1 ( BA )+ x 2 ( CA )0

    1. P= t 1 'A+ t 2 'B+ t 3 'C Q= t 1 ''A+ t 2 ''B+ t 3 ''C 0t1 tP+( 1t )Q =( t t 1 '+ t 1 ''t t 1 '' )A+( t t 2 '+ t 2 ''t t 2 '' )B+( t t 3 '+ t 3 ''t t 3 '' )C t t i '+ t i ''t t i '' =t t i '+ t i ''( 1t ) 0 i=1 3 ( t t i '+ t i ''t t i '' ) =t( i=1 3 t i ' )+ i=1 3 t i '' t i=1 3 t i '' =t+1t =1

      よって、三角形は凸集合。


    2. S を凸集合、 A,B,CS   とする。

      0t1 tA+( 1t )BS 0s1 s( tA+( 1t )B )+( 1s )CS stA+s( 1t )B+( 1s )CS st+s( 1t )+1s=1 st0, s( 1t )0 1s0

      よって、 A B C を含む任意の凸集合は、 A B C によって決定される三角形を含む。


    3. t 1 , t 2 , t 3 0 t 1 + t 2 + t 3 =0 F( t 1 A+ t 2 B+ t 3 C ) = t 1 F( A )+ t 2 F( B )+ t 3 F( C )

      また、 F( A ) F( B ) F( C ) は一直線上にないので、 F( B )F( A ) F( C )F( A ) は1次独立。

      よって、 A B C によって決定される三角形の F による像は、 F( A ) F( B ) F( C ) によって決定される三角形である。

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