数学 – 代数学 - 群 - 群とその例(結合的な乗法、簡約律)

学習環境

代数系入門 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、2(群とその例)、問題4.を取り組んでみる。

$\begin{array}{l} a, b \in G \\ f : G \to G \\ f (u) = a u \\ u_{1}, u_{2} \in G \\ f (u_{1}) = f (u_{2}) \\ a u_{1} = a u_{2} \\ 仮定の簡約律より \\ u_{1} = u_{2} \\ f は単射。 \\ G は有限集合なので、 f は全射。 \\ よって、 f は全単射。 \\ \exists u_{0} \in G [a u_{0} = b] \\ g : G \to G \\ g (v) = v b \\ v_{1}, v_{2} \in G \\ g (v_{1}) = g (v_{2}) \\ v_{1} b = v_{2} = b \\ 仮定の簡約律より \\ v_{1} = v_{2} \\ g は単射。 \\ G は有限集合なので、 g は全射。 \\ よって g は全単射。 \\ \exists v_{0} \in G [v_{0} b = a] \\ よって、問題 3 より、任意の a, b \in G に対して a u および v a = b となる u 、 v 、が存在するので G は群である。 \end{array}$

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