2017年6月19日月曜日

学習環境

解析入門〈2〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.2(積分の性質)、問題1、2、3、4.を取り組んでみる。


  1. U( P,f )L( P,f )< ϵ c c( U( P,f )L( P,f ) )<ϵ cU( P,f )cL( P,f )<ϵ U( P,cf )L( P,cf )<ϵ

    よって cf は積分可能である。

    c a b f ϵ <cL( P,f ) =L( P,cf ) a b cf U( P,cf ) =cU( P,f ) <c a b f +ϵ

    よって等式は成り立つ。


  2. 積分可能であるとはいえない。以下反例。

    0x1 f( x )=1( x= n m ) f( x )=1( x n m ) | f( x ) |=1

  3. a b fg a b ( f p p + g q q ) = a b f p p + a b g q q = 1 p a b f p + 1 q a b g q = 1 p + 1 q =1

  4. f 1 = | f | ( a b | f | p ) 1 p g 1 = | g | ( a b | g | q ) 1 q a b | f 1 | p = a b | f | p a b | f | p = a b | f | p =1 a b | g 1 | q = a b | g | q a b | g | q = a b | g | q =1 a b f 1 g 1 1 a b | f | ( a b | f | p ) 1 p · | g | ( a b | g | q ) 1 q 1 a b | f || g | ( a b | f | p ) 1 p ( a b | g | q ) 1 q | a b fg | a b | fg |= a b | f || g | ( a b | f | p ) 1 p ( a b | g | q ) 1 q | a b fg | ( a b | f | p ) 1 p ( a b | g | q ) 1 q

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Function, Integral

x, a, b, c = symbols('x a b c')
f = Function('f')(x)

expr1 = c * Integral(f, (x, a, b))
expr2 = Integral(c * f, (x, a, b))
pprint(expr1)
pprint(expr2)
print(expr1.doit() == expr2.doit())

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample1.py
  b        
  ⌠        
c⋅⎮ f(x) dx
  ⌡        
  a        
b          
⌠          
⎮ c⋅f(x) dx
⌡          
a          
True
$

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