2017年6月23日金曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第5章(平均値の定理)、3(増加・減少関数)、練習問題23-28.を取り組んでみる。


  1. h( x )=f( x )g( x ) h'( x )=f'( x )g'( x )>0 h( c )=f( c )g( c )=0 x>c h( x )>0 f( x )g( x )>0 f( x )>g( x ) x<c h( x )<0 f( x )g( x )<0 f( x )<g( x )

  2. f( c i )=f( c i+1 )

    ロルの定理より、以下が成り立つ。

    f( c i )=f( c i+1 ) d i [ c i < d i < c i+1 f'( d i )=0 ]

    よって、 f' は少なくとも r1 個の零点をもつ。


  3. f ( n ) ( x )= a n n!

    この第n次導関数は、零点をもたない。

    問題の多項式が n+1 個以上の根をもつと仮定すると、第n次導関数は少なくとも1個の根をもつことになり矛盾。

    よって、問題の多項式はたかだかn個の根しかもたない。


  4. 三角形の面積をS、各辺の長さをそれぞれ a、b、c とする。

    a+b+c3 ( abc ) 1 3 a=b=c

  5. S= 1 2 bcsinA 4 S 2 = b 2 c 2 sin 2 A 4 S 2 = b 2 c 2 ( 1 cos 2 A ) a 2 = b 2 + c 2 2bccosA cosA= b 2 + c 2 a 2 2bc 4 S 2 = b 2 c 2 ( 1cosA )( 1+cosA ) 1cosA=1 b 2 + c 2 a 2 2bc = 2bc b 2 c 2 + a 2 2bc = a 2 ( bc ) 2 2bc = ( a( bc ) )( a+( bc ) ) 2bc = ( ab+c )( a+bc ) 2bc 1+cosA=1+ b 2 + c 2 a 2 2bc = 2bc+ b 2 + c 2 a 2 2bc = ( b+c ) 2 a 2 2bc = ( b+ca )( b+c+a ) 2bc 4 S 2 = b 2 c 2 ( ab+c )( a+bc ) 2bc ( b+ca )( b+c+a ) 2bc 4 S 2 = ( ab+c )( a+bc )( b+ca )( b+c+a ) 4 ( ( ab+c )( a+bc )( b+ca ) ) 1 3 ( ab+c )+( a+bc )+( b+ca ) 3 ab+c=a+bc=b+ca 2a=2b a=b c=a a=b=c

  6. f( x )=tanxx f'( x )= 1 cos 2 x 1 0x< π 2 f'( x )0 f( 0 )=tan00=0 tanxx0 tanx0

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Derivative, tan, plot

x = symbols('x')
f = tan(x) - x
d = Derivative(f, x)
pprint(d)
f1 = d.doit()
pprint(f1)

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample23.py
d              
──(-x + tan(x))
dx             
   2   
tan (x)
$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.005">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-5">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="5">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-5">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="5">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample23.js"></script>    

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let factorial = (n) => range(1, n + 1).reduce((prev, next) => prev * next, 1);

let f = (x) => Math.tan(x),
    g = (x) => x;

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value);
    
    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;n
    }
    let points = [],
        lines = [],
        fns = [[f, 'red'], [g, 'green']];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                if (Math.abs(y) < Infinity) {
                    points.push([x, y, color]);
                }
            }
        });                 
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');
    
    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');
    
    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    p(fns.join('\n'));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();







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