2017年6月17日土曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題6、7.を取り組んでみる。


  1. F( u+v ) =( f( u+v ),g( u+v ) ) =( f( u )+f( v ),g( u )+g( v ) ) =( f( u ),g( u ) )+( f( v ),g( v ) ) =F( u )+F( v ) F( cv ) =( f( cv ),g( cv ) ) =( cf( v ),cg( v ) ) =c( f( v ),g( v ) ) =cF( v )

    一般化。

    F n ( v )=( f 1 ( v ), f 2 ( v ),, f n ( v ) ) F n ( u+v )=( f 1 ( u+v ), f 2 ( u+v ),, f n ( u+v ) ) =( f 1 ( u )+ f 1 ( v ), f 2 ( u )+ f 2 ( v ),, f n ( u )+ f n ( v ) ) =( f 1 ( u ), f 2 ( u ),, f n ( u ) )+( f 1 ( v ), f 2 ( v ),, f n ( v ) ) = F n ( u )+ F n ( v ) F n ( cv ) =( f 1 ( cv ), f 2 ( cv ),, f n ( cv ) ) =( c f 1 ( v ),c f 2 ( v ),,c f n ( v ) ) =c( f 1 ( v ), f 2 ( v ),, f n ( v ) ) =c F n ( v )

  2. v 1 , v 2 U F( v 1 + v 2 ) =F( v 1 )+F( v 2 ) =O+O =O v 1 + v 2 U F( c v 1 ) =cF( v 1 ) =cO =O c v 1 U OV F( O )=O OU

    よって、 V の部分集合 U は、Vの部分空間である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix, randMatrix
import random

print('6.')

f = lambda v: 2 * v[0] + 3 * v[1]
g = lambda v: 4 * v[0] + 5 * v[1]

F = lambda v: Matrix([f(v), g(v)])

for _ in range(5):
    u = randMatrix(1, 2)
    v = randMatrix(1, 2)
    pprint(u)
    pprint(v)
    print(F(u + v) == F(u) + F(v))
    c = random.randrange(100)
    print(F(c * v) == c * F(v))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample6.py
6.
[79  84]
[84  68]
True
True
[53  80]
[50  35]
True
True
[85  92]
[89  88]
True
True
[0  18]
[21  8]
True
True
[85  65]
[33  46]
True
True
$

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