2017年7月16日日曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(2次元と3次元の簡単な幾何学)、9(空間の座標と空間内のベクトル)、問1、2、3、4、5.を取り組んでみる。


  1. 座標を考えれば示すことができる。


  2. ( xa ) 2 + ( yb ) 2 + ( zc ) 2 =r

    よって、前問の問1より点(a, b, c)と点(x, y, z)の距離はrで一定。

    ゆえに、問題の方程式は空間において表される図形は、中心(a, b, c)、半径rの球体である。


  3. P( x,y,z ) AP= ( x2 ) 2 + y 2 + z 2 PB= x 2 + ( y+1 ) 2 + z 2 2 x 2 + ( y+1 ) 2 + z 2 = ( x2 ) 2 + y 2 + z 2 4( x 2 + ( y+1 ) 2 + z 2 )= ( x2 ) 2 + y 2 + z 2 3 x 2 +4x+3 y 2 +8y+3 z 2 =0 3 ( x+ 2 3 ) 2 +3 ( y+ 4 3 ) 2 +3 z 2 = 4 3 + 16 3 ( x+ 2 3 ) 2 + ( y+ 4 3 ) 2 + z 2 = 20 9 ( x+ 2 3 ) 2 + ( y+ 4 3 ) 2 + z 2 = ( 2 5 3 ) 2 ( 2 3 , 4 3 ,0 ) 2 5 3

    1. AB= 1 2 + 1 2 + 2 2 = 6 BC= 1 2 + 2 2 + 1 2 = 6 CA= 2 2 + 1 2 + 1 2 = 6

      よって三角形ABCは正三角形。


    2. D( a,b,c ) AD= ( a1 ) 2 + ( b2 ) 2 + ( c3 ) 2 = 6 BD= ( a2 ) 2 + ( b3 ) 2 + ( c1 ) 2 = 6 CD= ( a3 ) 2 + ( b1 ) 2 + ( c2 ) 2 = 6 ( a1 ) 2 + ( b2 ) 2 + ( c3 ) 2 =6 ( a2 ) 2 + ( b3 ) 2 + ( c1 ) 2 =6 ( a3 ) 2 + ( b1 ) 2 + ( c2 ) 2 =6 a 2 2a+1+ b 2 4b+4+ c 2 6c+9=6 a 2 4a+4+ b 2 6b+9+ c 2 2c+1=6 a 2 6a+9+ b 2 2b+1+ c 2 4c+4=6 2a3+2b54c+8=0 2a54b+8+2c3=0 4a82b+32c+5=0 2a+2b4c=0 2a4b+2c=0 4a2b2c=0 a+b2c=0 a2b+c=0 2abc=0 c=a+2b a+b+2a4b=0 3a3b=0 b=a c=a+2a=a a 2 2a+1+ a 2 4a+4+ a 2 6a+9=6 3 a 2 12a+8=0 a= 6± 3624 3 =2± 2 3 3 =2± 2 3 D( 2± 2 3 ,2± 2 3 ,2± 2 3 )

      (複号同順)


    3. ( 1,1,2 )·( 1± 2 3 ,1± 2 3 ,± 2 3 ) =1± 2 3 +1± 2 3 4 3 = ±44 3 =0

  4. | atb | =| ( 3,0,2 )t( 1,2,2 ) | =| ( 3t,2t,2+2t ) | = 9+ t 2 6t+4 t 2 +4( 1+ t 2 2t ) = 9 t 2 14t+13 = 9 ( t 7 9 ) 2 +C t 0 = 7 9 ( a 7 9 b )·b =a·b 7 9 b·b =3+4 7 9 ( 1+4+4 ) =3+77 =0

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve, sqrt

print('1.')
a, b, c = symbols('a b c')
eq1 = sqrt((a - 1) ** 2 + (b - 2) ** 2 + (c - 3) ** 2) - sqrt(6)
eq2 = sqrt((a - 2) ** 2 + (b - 3) ** 2 + (c - 1) ** 2) - sqrt(6)
eq3 = sqrt((a - 3) ** 2 + (b - 1) ** 2 + (c - 2) ** 2) - sqrt(6)

s = solve((eq1, eq2, eq3), dict=True)
for s0 in s:
    pprint(s0)

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample1.py
1.
⎧     2⋅√3           2⋅√3           2⋅√3    ⎫
⎨a: - ──── + 2, b: - ──── + 2, c: - ──── + 2⎬
⎩      3              3              3      ⎭
⎧   2⋅√3         2⋅√3         2⋅√3    ⎫
⎨a: ──── + 2, b: ──── + 2, c: ──── + 2⎬
⎩    3            3            3      ⎭
$

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