2017年8月13日日曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第6章(曲線をえがくこと)、3(凸関数)、練習問題5.を取り組んでみる。


  1. 2点(a, f(a))、(b, g(b))を結ぶ線分と区間[a, b]におけるfの曲線との差の関数を次のようにおく。

    φ( x )= f( b )f( a ) ba ( xa )+f( a )f( x ) φ'( x )= f( b )f( a ) ba f( x )

    平均値の定理を用いる。

    φ( x )= f( b )f( a ) ba ( xa )+f( a )f( x ) φ'( x )= f( b )f( a ) ba f( x ) a<c<b f'( c )= f( b )f( a ) ba φ'( x )=f'( c )f( x ) a<xc a<d<c f'( c )f'( x ) cx =f''( d ) f'( c )f'( x )=f''( d )( cx ) f''( d )<0 a<x<c cx>0 φ'( x )=f'( c )f'( x )<0 φ'( x )<0 φ( a )=0 f( b )f( a ) ba ( xa )+f( a )f( x )<0 f( b )f( a ) ba ( xa )+f( a )<f( x ) c<x<b c<e<x f'( x )f'( c )=f''( e )( xc ) f''( e )<0 xc>0 f'( x )f'( c )<0 φ'( x )<0 φ'( x )>0 φ( b )=0 f( b )f( a ) ba ( xa )+f( a )f( x )<0 f( b )f( a ) ba ( xa )+f( a )<f( x ) a<x<b f( b )f( a ) ba ( xa )+f( a )<f( x )

    よって曲線 y = f(x) は区間[a, b]において強い意味で上に凸である。

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